Космос - «мир, вселенная и мироздание» (др. греческий), первоначальное значение - «порядок, гармония, красота».
Впервые термин Космос для обозначения Вселенной был применён Пифагором...









Интересные сайты:




Феномен человека на фоне универсальной эволюции

Глава IV Фундаментальная сущность эволюции

Фрактальность наблюдаемого мира

4.5. Фрактальность наблюдаемого мира Фракталы

За последние десятилетия установлено, что фрактальную природу имеет множество самых разных материальных систем — от угольной сажи и бронхов до скоплений звезд и галактик. По-видимому, можно говорить о фрактальной картине наблюдаемого мира, рывком к которой наука перешла в XXI в.

4.5.1. Фракталы

Поясним, что такое фрактал [Хайтун, 1996 а. С. 58-66; 1999 а; 20036]. Представим себе бесконечно тонкий лист бумаги, которым мы пытаемся заполнить комнату, вырезая из него бесконечно узкую полоску. Такой лист бумаги — двухмерный, его объем и масса равны нулю. Понятно, что заполнить им трехмерный объем толком не удастся, бумага образует «всюду пустую» структуру нулевой плотности (массы). Вот эта «бумажная» структура и может служить образом фрактала.

Чтобы наша «бумажная» структура была более точным подобием фрактала, необходимо еще разорвать вырезаемую из листа бумаги бесконечно узкую полоску «на атомы», так чтобы каждая следующая точка оказалась на некотором случайном расстоянии от предыдущей в случайном же направлении от нее, а все точки располагались бы, тем не менее, не совсем случайным образом, образуя иерархизованную структуру («детерминированный хаос») [Шустер, 1988].

Объем трехмерного тела измеряется трехмерными единицами измерения, т. е. кубиками единичного объема: мы подсчитываем, сколько таких кубиков поместится в измеряемом теле. Площадь двухмерной фигуры — квадратиками единичной площади, длина линии — единичными отрезками. А что будет, если использовать единицу измерения размерности, не совпадающей с размерностью измеряемого множества?

Если для измерения площади листа бумаги использовать одномерные отрезки единичной длины, то число таких отрезков, требующихся, чтобы заполнить весь лист, равно бесконечности. Если же для измерения площади листа использовать трехмерные кубики, то для числа таких кубиков, покрывающих лист, получится значение, равное нулю (площадь листа не изменится, если его скомкать; вот мы его, скомкав, и поместим в кубик, в котором он займет нулевой объем). То единственное значение размерности единицы измерения, при котором мера множества отлична от нуля и бесконечности, называется размерностью множества по Хаусдорфу, или фрактальной размерностью. Существуют, впрочем, и другие определения фрактальной размерности. Для листа бумаги размерность Хаусдорфа равна 2. Для «бумажного» фрактала, о котором шла речь выше и который размещен в трехмерном пространстве, размерность Хаусдорфа меньше 3.

Поясним также понятие фрактала на примере береговой линии моря, длину которой мы измеряем по карте с помощью циркуля [Mandelbrot, 1967; Потапов, 2002]. Морской берег настолько изрезан, что с уменьшением шага циркуля измеряемая длина берега растет пропорционально обратной степенной зависимости, показатель которой и определяет фрактальную размерность берега (1,14 для Португалии; 1,25 для Великобритании и т.д.) [Потапов, 2002. С.21]. Если бы шаг циркуля можно было устремить к нулю, то измеряемая длина берега стремилась бы к бесконечности. В случае не столь изрезанной (нефрактальной) береговой линии, когда с устремлением шага циркуля к нулю изрезанность береговой линии пропадает, ее фрактальная размерность вырождается в единицу, а указанная обратная степенная зависимость дает для ее (линии) длины отличное от бесконечности постоянное значение.

Существенно, что фрактальная размерность берега моря меньше топологической размерности площади, на которой эта линия размещена (т. е. двух). Фрактальная размерность «бумажного» множества, как мы видели, также меньше топологической размерности пространства, в котором оно расположено (т. е. трех).

Таковы все фракталы — их фрактальная размерность меньше размерности пространства, в котором они размещены. Минимальная размерность пространства, в котором может быть размещен фрактал, является его топологической размерностью. Иначе говоря, топологическая размерность фрактального множества равна минимальному числу независимых координат, которыми могут быть фиксированы точки множества. Фрактальная размерность фрактала в общем случае меньше его топологической размерности.

Это достаточно нетривиально. Б. Мандельброт, отец фракталов, ошибочно считает, что размерность фракталов больше их топологической размерности [Mandelbrot, 1977 с. Р. 15]. Равным примером природного фрактала ему служит броуновское движение на плоскости, топологическую размерность которого он приравнивает топологической размерности траектории движения броуновской частицы, т. е. единице. Поскольку же фрактальная размерность плоского броуновского движения больше единицы и меньше двух, постольку Мандельброт и приходит к своему выводу. Если бы он был прав, то единице была бы равна и топологическая размерность трехмерного броуновского движения, и четырехмерного, и т.д., что представляется бессмыслицей. Поскольку, как говорилось, топологическая размерность фрактала может быть определена минимальной размерностью пространства, в котором он может быть размещен, постольку топологическая размерность броуновского движения на плоскости равна 2, в трехмерном пространстве — 3 и т.д. И тогда мы получаем наше утверждение.

Следом за Мандельбротом многие авторы также считают, что фрактальная размерность больше топологической, приписывая в оправдание этого тезиса топологической размерности фракталов довольно-таки странные значения. Так, А. А. Потапов считает топологическую размерность канторова множества равной 0, а топологическую размерность триадной кривой Кох, кривой Мандельброта—Швена, салфетки и ковра Серпинского и кривой Госпера равной 1 [Потапов, 2002. С. 14]. Но канторово множество (фрактальная размерность ≈ 0,631) расположено на линейном отрезке единичной длины, из-за чего его топологическая размерность равна 1, а не 0 (положение точек фиксируется одной координатой). Триадная кривая Кох (фрактальная размерность (ln 4/ln 3) ≈ 1,26) строится на плоскости, из-за чего ее топологическая размерность равна 2, а не 1 (положение точек множества фиксируется двумя координатами). Четыре оставшихся фигуры (фрактальная размерность равна соответственно ln 8/ln 3 ≈ 1,89, ln 3/ln 2 ≈ 1,58, ln 8/ln 3 ≈ 1,89 и ln 3/ ln √ 7 ≈ 1,13 [Там же]) также строятся на плоскости, почему их топологическая размерность также равна 2, а не 1, и т. д. Всегда и везде топологическая размерность фрактала превышает его фрактальную размерность, что для реальных фракталов, расположенных в реальном трехмерном пространстве, оказывается чрезвычайно важным.

В самом деле, плотность «бумажного» фрактала, как мы видели, равна 0. Эта ситуация имеет общий характер: поскольку собственная (фрактальная) размерность фракталов меньше их топологической размерности, т. е. размерности пространства, в котором они размещены, постольку плотность всех реальных фракталов, находящихся в нашем трехмерном пространстве, равна 0. Точнее, была бы равна 0, если бы они были «настоящими» фракталами, т. е. фракталами в математическом смысле слова. Реально, однако, таким «настоящим» фракталом в нашем трехмерном пространстве является только вся бесконечная Вселенная, «бесконечная» плотность которой равна 0, т. е. плотность любого ее фрагмента с устремлением его объема к бесконечности стремится к нулю (см. разд. 6.2.4).

Так что реально наблюдаемые фракталы конечного размера — угольная сажа, бронхи, галактики и пр. — «настоящими» фракталами не являются, поскольку «настоящий» фрактал должен иметь нулевую плотность, а любой его конечный фрагмент — нулевую массу, чего, естественно, для материальных систем, за исключением всей Вселенной, не может быть. Реальные структуры, за исключением Вселенной, не фрактальны, но только фракталоподобны.





Назад     Содержание     Далее















Друзья сайта: